Из дворян. Родился в семье зав. Рукопис. отд-нием, впоследствии дир. ПБ А. Ф. Бычкова. Окончив в 1876 6-ю петерб. гимназию с зол. медалью, поступил на юрид. фак. Петерб. ун-та, из к-рого был выпущен в 1880 со званием канд. 1 февр. 1881. Б. назначен б-рем, зав. Отд-нием рукописей, кн. на церк.-славян. яз., славян. кн. кириллич. печати, кн. гражд. печати времен Петра I и беспрерывно исполнял эти обязанности до самой кончины.
Заслугой Б. явилась огромная работа по подробному описанию новых поступлений в ПБ, число к-рых доходило иногда до нескольких тыс. в год. Эти описания ежегодно помещались в «Отчетах» ПБ, начиная с 1881, а также выпускались отд. изд. В «Отчетах» Б. помещал и описания приобретаемых Б-кой старопечатных изд. Из отд. работ Б. особый интерес и ценность представляют науч. описания обширных собр. бумаг В. А. Жуковского и А. А. Краевского поступивших в ОР ПБ в 1880-х. Тогда же, по поручению АН, им был составлен подробный разбор тр. И. П. Каратаева «Описание славяно-русских книг с 1491 по 1652 г.», за к-рый ему была присуждена зол. Уваровская медаль.
С 1880-х началась публикаторская деятельность Б. В «ЖМНП», «Рус. вест.» помещены публ. писем Н. В. Гоголя, В. А. Жуковского, К. А. Коссовича, Н. Н. Мурзакевича. Такой же характер коммент. публ. носили его изд. отд. писем и тр. В. А. Жуковского, К. Н. Батюшкова, В. Ф. Одоевского, П. А. Вяземского и мн. др.
В 1887 Б. избран чл. Археогр. комис., по поручению к-рой им были подготовлены и напечатаны «Русские акты Копенгагенского архива»; отрывок из записной кабальной кн. дьяка Алябьева 1597 г., а также «Воспоминания П. П. Пекарского об его службе в Государственном архиве». В 1903 АН избрала Б. чл.-кор. и поручила ему продолжить изд. «Писем и бумаг Петра Великого», к-рое было приостановлено на т. 4 после смерти его ред. А. Ф. Бычкова. Под ред. Б. было издано 3 т. В 1908–10 он принимал участие в акад. комис. по изд. памятников древнерус. письменности, а также в комис. по изд. бумаг М. М. Сперанского. Б. состоял чл. нескольких уч. о-в: ОЛДП, ОИДР, ОЛРС, Рус. библиол. о-ва, О-ва библиотековедения, Ист. о-ва при Петерб. ун-те и нек-рых уч. губ. арх. комис.
В дни блокады Б., категорически отказавшись эвакуироваться, остался на своем посту, несмотря на исключительно тяжелые условия воен. времени.
В 1942 занесен в «Книгу почета» культпросветработников Наркомпроса РСФСР за самоотверж. работу по обеспечению сохранности фондов Б-ки и обслуживание кн. населения и воинских частей Ленинграда. В 1943 награжден орденом Трудового Крас. Знамени и медалью «За оборону Ленинграда».
До Окт. революции был награжден орденами Владимира 4-й степени, Анны 2-й и 3-й степени.
Соч.: Краткий обзор собрания рукописей, принадлежавшего просвященному епископу Порфирию (СПб., 1885); Бумаги В. А. Жуковского, поступившие в ИПБ в 1884 г. (СПб., 1887); Заметки о некоторых церковно-славянских старопечатных книгах (СПб., 1888); Бумаги А. А. Краевского: Опись их собр., поступившего в 1889 г. в ИПБ (СПб., 1893); Из собрания автографов ИПБ (СПб., 1890); Каталог собрания славяно-русских рукописей П. Д. Богданова (СПб., 1891–93. 2 т.); Каталог собрания рукописей Ф. И. Буслаева (СПб., 1897); Русские акты Копенгагенского государственного архива, извлеченные Ю. Н. Щербачевым (СПб., 1897); Каталог собрания рукописей П. И. Савваитова (СПб., 1900–02. 2 т.); Дневники В. А. Жуковского (СПб., 1903); Письма и бумаги императора Петра Великого. Т. 5–7 (СПб., 1907–18); Из неизданных стихотворений Н. М. Языкова и В. А. Жуковского (СПб., 1911); Неизданные письма Жуковского к А. П. Елагиной и А. П. Зонтаг (СПб., 1912); Письма Н. В. Калачова к А. Ф. Бычкову за 1840–1882 гг. (Пг., 1923).
Справ.: БСЭ; СИЭ; АН СССР: Перс. состав.
Лит.: Андреев А. И. Памяти Ивана Афанасьевича Бычкова // Петр Великий: Сб. ст. М., 1947; Валк С. Н. И. А. Бычков // Изв. АН СССР. Сер. истории и философии. 1944. № 5; Розов Н. Н. Член-корреспондент Академии наук И. А. Бычков: (К 100-летию со дня рождения) // Изв. АН СССР. Отд-ние лит. и яз. 1958. Т. 17, вып. 4; Крачковский И. Ю. Над арабскими рукописями: Листки восп. о кн. и людях. М., 1965.
Арх.: Арх. РНБ. Ф. 10/1. Л.д.; ОР РНБ. Ф. 120; РГИА. Ф. 906.
Иконогр.: АН СССР: Перс. состав; Арх. РНБ. Ф. 13. П/Б–299.
О. А. Бабук